Pavel Pe4atnikov, ну с ящиков всё просто сохраняется.
1. Способ, все такие сервисы предлагают импорт почты. К примеру я зашел на офис365, ввёл логин/пароль, сервер и порты старой почты (яндекс ПДД) и он вытянул в мой новый ящик к себе оттуда все папки и всё содержимое.
2. Если всё время пользовались батом, оутлуком и прочими почтовиками, то подключаете там новый ящик и тупо папку из старой почты перетаскиваете в новую (актуально для IMAP) и всё.
Ну а насчёт почты и акка админа..., тут уж сами виноваты если всем дали ему рулить и у вас нет его данных и он вам их не дает.